~*~ 1 ~*~
จงหาค่าของ C(100,51)+C(100,52)+C(100,53)+...+C(100,100)
ก. (2^100) - (2^50)    ข. (2^100)/2 - 2^50    ค. [(2^100) - C(100,50)]/2    ง. 100(2^50)

~*~ 2 ~*~
จงหาค่าของ C(100,0)-C(100,1)+C(100,2)-...+C(100,100)
ก. 2^50        ข. 100!        ค. C(100,50)        ง. 0

--* เฉลย *--
~*~ 1 ~*~
ตอบ ค. [(2^100) - C(100,50)]/2
จาก (x+y)^n = C(n,0)(x^n) +C(n,1)(x^(n-1))(y^1)+C(n,2)(x^(n-2))(y^2)+...+C(n,n)(y^n)
คราวนี้เราแทนค่า x=1 และ y = 1 จะได้ว่า
(1+1)^n = C(n,0)(1^n) +C(n,1)(1^(n-1))(1^1)+C(n,2)(1^(n-2))(1^2)+...+C(n,n)(1^n)
2^n = C(n,0) +C(n,1)+C(n,2)+...+C(n,n) นั่นคือ C(n,0) +C(n,1)+C(n,2)+...+C(n,n) = 2^n
คราวนี้เราจะได้ว่า
C(100,0)+C(100,1)+C(100,2)+...+C(100,100) = 2^100
คราวนี้เราจับคู่จะได้
C(100,0) = C(100,100)
C(100,1) = C(100,99)
C(100,2) = C(100,98)
.
.
.
C(100,49) = C(100,51)
แล้วจะเหลือ C(100,50) อีก 1 ตัว
ดังนั้นจึงได้ว่า
C(100,0)+C(100,1)+C(100,2)+...+C(100,100) = C(100,100)+C(100,99)+C(100,98)+...+C(100,52)+C(100,51)+C(100,50)+C(100,51)+C(100,52)+...+C(100,100)
                   = 2 x [ C(100,100)+C(100,99)+C(100,98)+...+C(100,52)+C(100,51) ] +C(100,50)
จึงได้ว่า
C(100,100)+C(100,99)+C(100,98)+...+C(100,52)+C(100,51) = { [ C(100,0)+C(100,1)+C(100,2)+...+C(100,100) ] - C(100,50) }/2
                              = { ( 2^100 ) - C(100,50) }/2
F-i-N-1-s-h

~*~ 2 ~*~
ตอบ ง. 0
จาก (x+y)^n = C(n,0)(x^n) +C(n,1)(x^(n-1))(y^1)+C(n,2)(x^(n-2))(y^2)+...+C(n,n)(y^n)
ครั้งนี้เราแทนค่า x = 1 และ y = -1 และ n = 100 จะได้ว่า
(1-1)^100 = C(100,0)(1^100) +C(100,1)(1^(100-1))((-1)^1)+C(100,2)(1^(100-2))((-1)^2)+...+C(100,100)((-1)^100)
0 = C(100,0)+C(100,1)(-1)+C(100,2)((-1)^2)+...+C(100,100)((-1)^100)
    = C(100,0)-C(100,1)+C(100,2)-...+C(100,100)
เจ๋งปะล่ะ เหอะๆ

-=- 1 -=-
หากว่ามีข้อมูลอยู่ 10 ข้อมูล ซึ่งมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็น 52 ถ้าหากว่าพิมพ์ข้อมูลผิด จากเดิมควรเป็น 62 กลับพิมพ์เป็น 68 ค่าเฉลี่ยที่ถูกต้องควรเป็นเท่าใด
ก.  51.4        ข.  51.6        ค.  52.4        ง. 52.6

-=- 2 -=-
จากตาราง

จากตาราง

อายุ(ปี)	18	19	20	21	22	23
จำนวนคน	4	6	A	5	1	2

หากค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอายุเป็น 19.95 จงหาค่า A

ก. 1                         ข. 2                        ค. 3                         ง. 4

-=- 3 -=-
กำหนดให้ x1,x2,x3,...,x10 มีค่าเป็น 5,6,a,7,10,15,5,10,10,9 ตามลำดับ โดยที่ a<15 ถ้าพิสัยของข้อมูลชุดนี้เท่ากับ 12
b เป็นจำนวนจริงที่ทำให้  Sigma (xi-b)^2 มีค่าน้อยที่สุด และ
c เป็นจำนวนจริงที่ทำให้  Sigma |xi-b| มีค่าน้อยที่สุด
แล้ว a+b+c มีค่าเท่าใด
ก. 15        ข. 19         ค. 21        ง. 29

-=- 4 -=-
ข้อมูลชุดหนึ่งประกอบด้วย x1,2,x3,...,x13 โดยที่ xn = |5-n| เมื่อ n=1,2,3,...,13
จำนวนจริง a ที่ทำให้ Sigma |xn-a| มีค่าน้อยที่สุดเท่ากับเท่าใด
ก. 2        ข. 2.5        ค. 3        ง. 3.5

-=- 5 -=-

ถ้าตารางแจกแจงความถี่ของข้อมูลชุดหนึ่ง ซึ่งมีความกว้างของแต่ละอันตรภาคชั้นเท่ากัน เป็นดังต่อไปนี้

 

ชั้นที่	จุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้น	ความถี่สะสม
1	- - -	8
2	- - -	16
3	- - -	36
4	25	40
5	30	50

 

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและค่ามัธยฐานคือข้อใดต่อไปนี้ตามลำดับ

ก. 19 , 19.75         ข. 19 , 17.75          ค. 20 , 19.75        ง. 20 , 17.75

 

-=- 6 -=-

ให้ x1,x2 ,x3,x4,x5 เป็นข้อมูลชุดหนึ่งซึ่งมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 6 ถ้า Sigma (xi-b)^2 = 30 แล้วส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดดนี้เท่ากับเท่าไร

ก. sqrt[2]               ข. 2                         ค. sqrt[6]               ง. 2*sqrt[2]

 

-=- 7 -=-

ข้อมูลชุดหนึ่งมี 5 จำนวน มีฐานนิยม มัธยฐาน และค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็น 15,16 และ 17 ตามลำดับและพิสัยของข้อมูลชุดนี้เท่ากับ 5 ความแปรปรวนของข้อมูลชุดนี้มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

ก. 31/5                   ข. 24/5                    ค. 22/5                  ง. 19/5

 

-=- 8 -=-

ข้อมูลชุดหนึ่งเรียงลำดับจากน้อยไปมากได้เป็น

10 , 20 , 30 , 30 , a , b , 60 , 60 , 90 , 120

ถ้าฐานนิยมและมัธยฐานของคะแนนชุดนี้เป็น 30 และ 40 ตามลำดับ แล้ว

11 , 22 , 33 , 34 , a+5 , b+6 , 67 , 68 , 99 , 130

ข้อมูลชุดนี้มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับเท่าใด

ก. 50                       ข. 55.5                  ค. 60                       ง. 60.5

 

-=- 9 -=-

ถ้า sigma (xi) = -8   sigma (yi) = 4 และ sigma [(5-xi)(yi+2)] = 76 แล้ว sigma [(xi)(yi)] เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

ก. -60                     ข. -30                      ค. 30                       ง. 60

 

-=- 10 -=-

ข้อมูลชุดหนึ่งมี 5 ตัว โดยที่ตัวแรกคือ 30 มีพิสัยเป็น 15 มีฐานนิยมเป็น 35 มีมัธยฐานเป็น 35 มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็น 37 แล้วค่าความแปรปรวนเป็นเท่าใด

ก. 23                       ข. 24                       ค. 25                       ง. 26

คำตอบอยู่ด้านล่าาาางงงงงงง
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
1.ก   2.ข   3.ข   4.ค   5.ค   6.ก   7.ค   8.ข   9.ง   10.ง
ขออภัยที่ไม่ได้เฉลยละเอียด เนื่องจากความวุ่นวานในการใช้ยกกำลัง ซิกมา รูท และความ*เกี*จส่วนตัว จะชดเชยให้ในงานทวินามนะ

-**~[ ให้เลขโดด 1 ถึง 9 จงตอบคำถามข้อ 1 - 4 ] ~**-
      
       1. นำมาสร้างเลข 9 หลัก โดยที่เลขไม่ซ้ำและเลขนั้นหารด้วย 3 ลงตัว

    ก. 9!/3!        ข. 9!/3        ค. 9!/3 + 9!/6    ง. 9!

       2. นำมาสร้างเลข 9 หลัก โดยที่เลขไม่ซ้ำและเลขนั้นหารด้วย 4 ลงตัว

    ก. 8!        ข. 9!/4!        ค. (2^4)x7!    ง. 4x7!

       3. นำมาสร้างเลข 9 หลัก โดยที่เลขไม่ซ้ำและเลขนั้นหารด้วย 6 ลงตัว

    ก. 8!/(2!3!)    ข. 7!2!        ค. 9!        ง. 8!4

       4. นำมาใส่ลงตารางขนาด 3x3 โดยที่เลขไม่ซำกัน และการหมุนตารางไม่ถือเป็นวิธีใหม่ จะทำได้กี่วิธี

** การหมุนตาราง เช่น
1  2  3                    3  6  9
4  5  6      >>>      2  5  8
7  8  9                   1  4  7
    ก. 8!        ข. 9!/8        ค. 8!9/4        ง. 7!9

       5. หากแมงมุนจะใส่ถุงเท้าและรองเท้า จะมีขั้นตอนในการใส่กี่แบบ

    ก. 8!8!        ข. 16!/8!8!        ค. 8!2        ง. 16!/(2!)^8


        \_\_\_\ เฉลย/_/_/_/


1. ง. 9!
    อันนี้ใช้เคล็ดเรื่องการหารด้วย 3 คือหากผลบวกสุดท้ายของเลขโดดของจำนวนใดๆเป็น 3,6 จำนวนนั้นๆจะหารด้วย 3 ลงตัว และ ถ้าหากบวกได้ 9 จำนวนนั้นจะหาร 9 ลงตัว
เนื่องจากเลข 9 หลักอันนี้มีผลบวกของเลขโดดเป็น 1+2+3+...+9 = (9)(10)/2 = 45  ==>  4+5 = 9 ดังนั้นไม่ว่าเราจะนำเลขโดดทั้ง 9 นี้ไปสร้างจำนวน 9 หลักอย่างไร จำนวนนั้นก็จะหาร 3 ลงตัว


2. ค. (2^4)7!
    ให้เราแบ่งเป็น 2 กรณี คือ
1) 8 หลักหน้าเป็นเลขคี่ เวลานำ 2 ไปหาร จะเหลือเศษ 1 แล้วจะไปทดกับหลักที่ 9 ซึ่งหากหลักที่ 9 ลงท้ายด้วย 2,6 ก็จะได้ว่าผลหารจะเป็นจำนวนคู่ ดังนั้นสร้างจำนวนได้ (5)(2)(7!) วิธี
2) 8 หลักแรกเป็นเลขคู่ ดังนั้นผลหารจะเป็นคู่หรือคี่ให้ดูที่หลักสุดท้าย หากหลักสุดท้ายเป็น 4,8 ก็จะได้ผลหารเป็นจำนวนคู่ ดังนั้นสร้างได้ (2)(3)(7!) วิธี
เนื่องจากผลจากการหารด้วย 2 เป็นจำนวนคู่ จะได้ว่าเราสามรถนำ 2 ไปหารได้อีกครั้ง นั่นคือจำนวนนั้นมี 2x2 = 4 เป็นตัวประกอบ ดังนั้นจึงสร้างจำนวนที่หารด้วย 4 ลงตัวได้ 7!10+7!6 = (16)7! = (2^4)7! วิธี


3. ง. 8!4 วิธี
    การที่จะหาร 6 ได้นั้นคือต้องหารได้ทั้ง 2 และ 3 นั่นคือ หากจำนวนใดเป็นจำนวนคู่ก็จะหาร 6 ลงตัวทันที เนื่องจากทุกจำนวนนั้นหาร 3 ลงตัวอยู่แล้ว ดังนั้นคำตอบจึงเป็น 8!4 วิธี


4. ค. 8!9/4 วิธี
    เริ่มต้นให้ส่ช่องกลางก่อน จะใส่ได้ 9 วิธี แล้วใส่ช่องอื่นๆได้อีก 8! วิธี แต่เนื่องจากแต่ละวิธีจะมีคู่ที่เกิดจากการหมุนทั้งหมด 4 แบบ จึงต้องหารออกด้วย 4 คำตอบจึงเป็น 8!9/4 วิธี


5. ง. 16!/(2!)^8 วิธี
    ให้ถุงเท้าและรองเท้าของข้างแรกเป็น A,A ให้ข้างที่ 2 เป็น B,B ให้ข้างที่ 3 เป็น C,C ... ให้ข้างที่ 8 เป็น H,H จะได้ว่าเราจะทำการจัดเรียง 16 ช่อง โดยมีตัวซ้ำเป็น 2,2,2,2,2,2,2,2 ดังนั้นจัดเรียงได้ 16!/(2!)^8 วิธี
แล้วเวลาแทนกลับเป็นถุงเท้ากับรองเท้านั้น เราก็ให้ A ตัวหน้าเป็นถุงเท้าข้างแรก ให้ B ตัวแรกเป็นถุงเท้าข้างแรก ให้ A ตัวที่ 2 เป็นรองเท้าข้างแรก แบบนี้ไปเรื่อยๆ ก็เป็นอันเสร็จ ดังนั้นคำตอบของข้อนี้จึงเป็น 16!/(2!)^8 วิธี
    

หากเรามีนกพิราบ 4 ตัว และมีรังอยู่ 3 รัง เราจะสรุปได้ว่า จะต้องมีรังใดรังหนึ่งที่มีนกพิราบอย่างน้อย 2 ตัว

หากว่าอ่านข้างบนนี้ไม่รู้เรื่องก็...ปิดไปเลย เอ้ย ไม่ถึงขนาดนั้น แต่ให้อ่านแต่สีเน้ำเงินละกัน คือมันเป็นสูตรง่ายๆ ใช้ง่าย แต่เข้าใจยากอ่ะ

    สูตรที่ 1 ; จัดว่า basic สุดๆเลย คือ หากเรามีนกพิราบ k+1 ตัว และมีรัง k รัง จะต้องมีอย่างน้อย 1 รังที่มีนกพิราบ อย่างน้อย 2 ตัว

    เช่น เรามีคน 367 คน จะต้องมีอย่างน้อย 2 คนที่เกิดวันเดียวกัน คิดโดย ให้คน 367 คนเป็นนกพิราบ 367 ตัว และให้วัน 366 วัน เป็นรัง 366 รัง มันก็จะเข้าสูตรเป๊ะๆ



    คราวนี้หากว่าเรามีของ 9 ชิ้น ใส่ในกล่อง 4 ใบ ลองใช้เซนส์ดูก็รู้ว่าจะต้องมี 1 กล่องที่มีของอย่างน้อย 3 ชิ้น จึงนำมาสรุปเป็นสูตรทั่วไปได้ว่า
   
    สูตรที่ 2 : มีนก n ตัว และมีรัง k รัง จะได้ว่าจะมี 1 รังที่มีนกอย่าน้อย floor[(n-1)/k] +1 โดยที่ floor [ ] หมายถึงปัดเศษที่เป็นทศนิยมทิ้ง เช่น floor [9/2] = 4


ความจริงยังมีเพิ่มเติมอีกเยอะ เด๋วจะมาเติมให้ แล้วช่วยไปดูบล็อกที่ edit แล้วทั้งหลายด้วยนะ เราเปนเงียะแหละ ต้องทำหลายๆรอบ - - เด๋วจะเบื่อ

ปัจจุบันยังทำเฉลยไม่เสร็จนะ แล้วจะมาเติมให้

                     *-~-*] _ ปรนัย _ [*-~-*

-*_ ~[ 1 ]~ _*-

ให้ f( x ) = ax^9 + bx^5 + cx^3 -7 โดยที่ a,b,c เป็นจำนวนจริง ถ้า f(-9) = 9 แล้วf(9) มีค่าเท่าใด

    (1)  -23     (2) -9     (3) 18     (4) 27
  

:=;~] Ans 1 [~;=:   (1)

ลองเขียน f(-9) ดูจะได้ว่า f(-9) = a(-9)^9  +  b(-9)^5  +  c(-9)^3  -  7
                                    = (-a)(9^9) + (-b)(9^5) + (-c)(9^3) - 7
                       f(-9) + 7  =(-a)(9^9) + (-b)(9^5) + (-c)(9^3)
คูณด้วย -1 ตลอด ; - f(-9) - 7 = - (-a)(9^9) - (-b)(9^5) - (-c)(9^3)
                       -f(-9) - 7  = a(9^9) + b(9^5) + c(9^3)
ลบ 7 ตลอด  ;    -f(-9) - 14   = a(9^9) + b(9^5) + c(9^3) - 7
                     -f(-9) - 14  = f(9)
                            f(9)    = -9 - 14
                                    = -23

                                                               



-*_ ~[ 2 ]~ _*-

ถ้า f(x) = sqrt[(sin^4 x) + 4(cos^2 x)] - sqrt[(cos^4 x)+ 4(sin^2 x)] แล้ว f(x) ตรงกับข้อใด

       (1)  -1 + sqrt[2]cosx         (2) cos(x/2) - sin(x/2)         (3) cos x - sin x      (4) cos(2x)


:=;~] Ans 2 [~;=:   (4)
เริ่มจากเปลี่ยน sin^4 x ให้เป็น (sin^2 x)^2 แล้วได้เป็น
    (1 - cos^2 x)^2 = 1 - 2(cos^2 x) + cos^4 x  จากนั้นจะได้ว่า
 sqrt[(sin^4 x)+4(cos^2 x)] = sqrt[1 - 2(cos^2 x) + cos^4 x) + 4(cos^2 x)]
                                      = sqrt[1+ 2(cos^2 x) + cos^4 x]
                                      = sqrt[(1+cos^2 x)^2]
                                      = 1+cos^2 x    **ไม่ต้อง absolute เนื่องจาก cos^2 x >= 0 อยู่แล้ว**
    อีกฝั่งก็ทำในลักษณะเดียวกันคือเปลี่ยน cos^4 x ให้เป็น (1-sin^2 x)^2 จะได้ว่า
    sqrt[(cos^4 x)+ 4(sin^2 x)] = 1+sin^2 x
   
    ดังนั้น
    sqrt[(sin^4 x) + 4(cos^2 x)] - sqrt[(cos^4 x)+ 4(sin^2 x)] = (1+cos^2 x) - (1+sin^2 x)
                                                                                        =cos^2 x - sin^2 x
                                                                                        =cos (2x)
                                                           
                                                            


-*_ ~[ 3 ]~ _*-

กำนหดให้ a,b เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับ sin(a)+sin(b)=[sqrt(6)]/2 และ cos(a)+cos(b)=1/sqrt[2]
ค่าของ sin(a+b) เท่ากับข้อใด

  (1) 0.5         (2) sqrt[3/2]         (3) (sqrt[3] )/2      (4) 1

:=;~] Ans 3 [~;=: ข้อนี้ยังคิดไม่ออก





-*_ ~[ 4 ]~ _*-

กำหนดให้ g(x)=(x^5)+(x^4)+(x^3)+(x^2)+x+1 เศษที่เหลือจากการหาร g(x^12) ด้วย g(x) เท่ากับข้อใด

  (1)  6         (2)  5-x         (3)  4-x+(x^2)      (4)  3-x+(x^2)-(x^3)

:=;~] Ans 4 [~;=: ยังตรวจสอบคำตอบอยู่ ตอนนี้คิดว่าน่าจะเป็น (1)  6  แต่วิธีคิดยังไม่ค่อยดี คือเราใช้แทนค่าแล้วหารตรง จึงยังไม่ขอเฉลย




-*_ ~[ 5 ]~ _*-

aced เป็นสี่เหลี่ยมคางหมู โดยมี ac//de , ce ตั้งฉากกับ ac และ ed , ให้จุด b อยู่บนด้าน ce โดยที่ทำให้ cb = 4
ac =3 , ad = 12 และ ad ตั้งฉากกับ ab
กำหนดให้ de/db = m/n โดยที่ m , n เป็นจำนวนเต็มบวกและ หรม.(m,n)=1 แล้ว m+n มีค่าเท่าใด

  (1)  243         (2)  153         (3)  128     (4)  25

:=;~] Ans 5 [~;=:  (3)

วิธีคิดนั้นติด sqrt อื้อซ่าเลยอ่ะนะ อ่านยากหน่อย อาจจะเขียนลงกระดาษดูก็ได้นะ โดยเฉพาะรูป ควรวาดลงกระดาษแล้วดู

จากรูปเราจะรู้ว่า ab=5 , bd=13 ให้เราลาก af // ce ให้ de = x จากรูป dbe เราจะได้ว่า be^2 = (13^2)-(x^2)
จากรูป afd จะได้ว่า (12^2)    =    ((x-3)^2)+((4+be)^2)
                          144     =    ((x^2)-6x+9) + ( ( 4+ sqrt[ 169-(x^2) ] ) ^2 )
                          144     =    (x^2) - 6x + 9 + 16 + 8 sqrt[ 169 - x^2 ] + (169 - x^2)
                          144     =    194 - 6x + 8 sqrt[ 169 - x^2 ]
                     6x - 50     =    8 sqrt[ 169 - x^2 ]
                     3x - 25     =    4 sqrt[ 169 - x^2 ]
      9(x^2) - 150x + 625  =    16(169 - x^2)
      9(x^2) - 150x + 625  =    2704 - 16x^2
    25(x^2) - 150x - 2079 =    0
(5x + 33)(5x - 63)           =   0
ดังนั้น x= 63/5 เนื่องจาก x> 0
จึงได้ว่า m/n = 63/(5*13) = 63/65
m+n = 128
                                                             


-*_ ~[ 6 ]~ _*-

***//เด๋วกลับมาทำต่อ ตอนนี้ต้องไปก่อนล่ะ\\**

อ่านแล้วมีแนวคิด ข้องสงสัย หรืออื่นใด ก็โพสหรือไม่ก็มาบอกเราเลยก็ได้นะ
ข้อแนะนำในการทำโจทย์
    สำหรับเรานั้นการเลือกทำโจทย์ดีๆสัก 10 ข้อ แล้วศึกษาวิธีการคิดโจทย์นั้นๆในหลายๆวิธี จะช่วยให้เรามีความสามารถในการคิดเลขได้มากขึ้น โจทย์ที่เราเลือกมานั้นมีแนวคิดที่น่าสนใจจึงมานำเสนอให้เพื่อนๆได้ลองคิดดู
                                                           
    1. หากนายวินัยไปเล่นเกมส์โชว์จนถึงรอบสุดท้าย โดยมีของรางวัลเป็นรถยนต์ กติกาการเล่นมีอยู่ว่ามีแผ่นป้ายอยู่ 3 แผ่น ซึ่งมี 2 แผ่นจะเป็นรางวัลปลอบใจ ตอนแรกนายวินัยเลือกแผ่นป้ายที่ 2 หลังจากนั้นพิธีกรก็เปิดแผ่นป้ายที่ 3 ซึ่งเป็นของรางวัลปลอบใจ ตอนนี้พิธีกรถามนายวินัยว่า "คุณยังจะยืนยันป้ายเดิมหรือจะเปลี่ยนป้ายครับ" นายวินัยบอกว่า "ขอเปลี่ยนครับ" ถามว่า การเปลี่ยนแผ่นป้านของนายวินัยนั้นถูกต้องหรือไม่และความเป็นไปได้ที่จะได้รถยนต์จะเพิ่มขึ้นหรือไม่
                                     ...คิดเข้าปายแล้วทำข้อ 2 ต่อเลย...
    2. ถ้ากำหนดเซต A เป็นเซตที่มีสมาชิก 365 ตัว ถามว่า P(A) มีสมาชิกกี่ตัว (P(A) คือ power set of A นั่นก็คือสับเซตทั้งหมดของเซต A)
                  ...ข้อ 2 นี่ชิวล่ะสิ เอามาเพราะอยากให้ดูเฉลยเท่านั้นแหละ...
    3. ในการสอบครั้งหนึ่งมีข้อสอบทั้งหมด 100 ข้อ โดยที่เป็นข้อสอบ 4 ตัวเลือก และตอบผิดไม่เสียคะแนนแต่อย่างใด ตอบถูกจะได้ 1 คะแนน ถามว่า หากนายสมศักดิ์มาทำข้อสอบนี้แบบมั่วๆ มีเกณฑ์การผ่านที่ 50 คะแนน จะมีโอกาสสอบผ่านเท่าไหร่ และจะมีโอกาสสอบได้ 0 คะแนนเท่าไหร่
                                       ...ยากหน่อยนะ พยายามเข้า...
    4. หากว่าเรากำลังจะไปซื้อก๋วยเตี๋ยว โดยเรามีงบซื้อได้ทั้งหมด 8 ห่อ มีเส้นให้เลือก 3 แบบ คือเส้นใหญ่ เส้นเล็ก และเส้นหมี่ ถามว่า เราจะมีวิธีเลือกซื้อมาได้กี่วิธี
                                              ...ชิวๆอีก 1 ข้อ...
    5. ข้อสุดท้ายละ โจทย์มีอยู่ว่าหากเรามีเซตของจำนวนเต็มซึ่งมีสมาชิกอยู่ 26 ตัว ถามว่า จะมีจำนวนที่มีเศษจากการหารด้วย 25 เท่ากันอยู่อย่างน้อยกี่จำนวน
                                        ข้อนี้ถ้าทำได้จัดว่าเก่งมากๆ

                                         เฉลยครับ พร้อมแนวคิดด้วย

    1. ตอบ การเปลี่ยนแผ่นป้ายของนายวินัยนั้น ถือว่าทำถูกแล้วครับ เนื่องจากจะช่วยให้เพิ่มโอกาสในการได้รางวัลจาก 1/3 เป็น2/3 งงล่ะสิว่าเป็นไปได้ยังไง หยั่งงี้รายการไม่ขาดทุนแย่เหรอ แต่นี่เป็นเรื่องจริงที่เกิดขึ้นมาแล้วครับ ถ้าจะอธิบายง่ายๆก็คือ เราสมมติให้ราไม่รู้ว่ารางวัลอยู่ี่ไหน สมมตินายวินัยเลือกประตูที่ 1 คราวนี้มาดูแผนภาพละกัน

             เลือก                   รางวัล                  เปลี่ยน                     ไม่เปลี่ยน
                1                        1                          ไม่ได้                           ได้
                1                        2                            ได้                           ไม่ได
                1                        3                            ได้                           ไม่ได

จาดแผนภาพคงจะชัดเจนพอจะอธิบายนะครับ
    มีคนอธิบายว่าที่เป็นเช่นนี้เนื่องจากพิธีกรนั้นช่วยบอกเราว่าประตูไหนที่ไม่ใช่ ผลจึงเป็นเช่นนี้
                                             ...น่าสนใจดีใช่มั้ยครับ...
   
    2. ตอบ 2^365
        ข้อ 2 นี้ไม่ยากเลยครับ คิดง่ายๆโดย ให้สมาชิกทั้ง 365 ตัวเป็นของ 365 ชิ้น  แล้วเราก็มีกล่องที่จะนำมาใส่ของนี้ แล้วก็คิดว่าเราจะนำมันมาใส่กล่องหรือไม่ใส่ ถ้าใส่มันก็จะอยู่ในสับเซต ถ้าไม่ใส่ก็ไม่อยู่ ดังนั้นคำตอบจึงเป็น 2^365 ที่นำมาให้ทำเนื่องจากจะให้เห็นว่า แม้เราจะใช้เพียงการคูณ แต่ถ้าเรามีมุมมองที่ดี เราก็แก้โจทย์ได้
                                                ...ดูข้อต่อไปเลยครับ...
    3. ตอบ โอกาสสอบผ่านมี **ขออภัย เกิดข้อผิดพลาด กะลังคิดอยู่นะ** จาก 4^100 ส่วนโอกาสได้ 0 มี (3/4)^100 จาก 4^100
       --โอกาสสอบผ่าน--
       --โอกาสสอบได้คะแนน 0 คะแนน--
             คิดง่ายๆว่า ในแต่ละข้อเราเลือกที่จะตอบผิดได้ 3 วิธี จาก 4 ตัวเลือก ซึ่งจะเป็นอย่างนี้ไปทุกๆข้อ ดังนั้นผลที่ได้จึงเป็น (3/4)^100 จาก 4^100
    4. ตอบ 10!/8!2! วิธี
          ข้อนี้ไม่ยากครับ เราให้จำนวนถุงก๋วยเตี๋ยว 8 ถุง เป็นของ 8 ชิ้น แล้วชนิดเส้น 3 ชนิด เป็นคน 3 คน วิธีคิดต่อดูจาก blog การแบ่งกลุ่มสิ่งของ (http://14252.multiply.com/journal/item/4) ได้เลยครับ
    5. ตอบ 2 ตัว
          ข้อนี้เค้าใช้วิธีการที่เรียกว่า The Pigeonhole Principle หลักการมีอยู่ว่า "สมมติเรามีรังนกอยู่ 4 รัง มีนก 5 ตัว จะต้องมีอย่างน้อย 1 รังที่มีนกอยู่ไม่ต่ำกว่า 2 ตัว"
รูปทั่วไปใช้ "หากเรามีของ n สิ่ง และมีกล่อง k กล่อง จะต้องมีอย่างน้อย 1 กล่องที่มีของอยู่ไม่ต่ำกว่า [(n-1)/k]+1 ( [ ] ที่เราใช้หมายถึงปัดขึ้นน่ะ ไม่ต้องจำไปนะ เราสมมติขึ้นมาน่ะ)" คราวนี้เรามาดูที่เศษ จะพบว่าไม่ว่าจะเป็นจำนวนเต็มใดๆก็ตามเศษจากการหารด้วย 25 ก็ต้องเป็น 0,1,2,3,...,24,25 ตัวใดตัวหนึ่ง เราก็มองว่าเศษ 25 แบบนั้นคือกล่อง 25 กล่อง แล้วเลขจำนวนเต็มของเราทั้ง 26 ตัวก็คือของ 26 ชิ้น ดังนั้นต้องมีอย่างน้อย 1 กล่องที่ทีของ [(26-1)/25]+1 = 2 ชิ้น เรื่องนี้อยู่ในกำหนดการๆทำ blog ของเรา เด๋วจะเอามาเพิ่มให้นะ

    ตอนนี้คงพอแค่นี้ล่ะ ส่วนไอข้อ 3.1 ที่ว่าสอบผ่านน่ะ เด๋วจะไปคิดมาให้นะ ขออภัยด้วย

สูตรของอาจารย์คือ sigma (t(d)) โดยที่ d คือจำนวนเเต็มทุกตัวที่หาร n ลงตัว
    มาดูวิธีใช้กันก่อน
   t(d) เรียกว่า tau function มีความหมายว่า "จำนวนของจำนวนเต็มบวกที่หารมันลงตัว" ดูตัวอย่างละกันจะได้เข้าใจมากขึ้น
   t(5)=2 เนื่องจากมีแค่ 1 กับ 5
   t(6)=4 คือมี 1,2,3,6
   t(12)=6 คือมี 1,2,3,4,6,12
   ถ้าตอนนี้ยังไม่เข้าใจก็ลองมาถามเราหรืออาจารย์ดูละกัน
   การใช้สูตรนี้คือเราจะใช้ในกรณีที่โจทย์ต้องการความเป็นไปได้ทั้งหมดที่ xyz = n โดยที่ x,y,z>0 หรือ x,y,z < 0 เท่านั้น(บางครั้งเค้าจะใช้คำว่า จงหาจำนวนของผลเฉลยของ xyz=n) เช่น
      xyz=10 เราก็ดูว่ามีตัวใดบ้างที่เอาไปหาร 10 ได้ลงตัว นั่นก็คือมี 1,2,5,10 เท่านั้น คราวนี้เราก็มาหา t(1)+t(2)+t(5)+t(10)
          t(1)=1       คือ 1
          t(2)=2       คือ 1,2
          t(5)=2       คือ 1,5
          t(10)=4     คือ 1,2,5,10
       เราก็เอา 1+2+2+4 = 9 ถ้าไม่เชื่อก็แจงกรณีดูเองละกัน เหอะๆ
    ***การเขียนในรูปบทบัญญัติ***
     นิยาม --- ถ้า n เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆแล้วจะได้ว่า n สามารถเขียนได้ในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะเช่น
     2=(2^1)
     4=(2^2)
     12=(2^2)*(3^1)
    
     การเขียนในรูปบทบัญญัติมีประโยชน์อย่างไร? แน่นอนว่ามี ทั้งในวิชาทฤษฎีจำนวนและความน่าจะเป็น ความน่าจะเป็นนั้นเท่าที่นึกออกตอนนี้ก็คือการหาว่ามีจำนวนเต็มกี่ตัวที่หาร n ลงตัว 
    วิธีใช้
       เริ่มโดยเขียน n ในรูปบทบัญญัติ แล้วนำดีกรี(เลขยกกำลัง)ของทุกๆตัวมาบวก  แล้วก็เอาดีกรีที่บวกแล้วมาคูณกันเช่น
          24=(2^3)*(3^1)
          เราก็นำ (3+1)*(1+1)=8
          ดังนั้นจำนวนตัวหารทั้งหมดของ 24 มี 8 ตัว
       หากต้องการที่มาให้มาถามเราเอา�